《新课标高中数学必修②精讲精练》——精讲 第四章 圆与方程 69 第 35 讲 §4.3.2 空间两点间的距离公式 ¤学习目标：通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距 离公式. ¤知识要点：
1. 空间两点 1111 (,,) P x y z 、 2222 (,,) P x y z 间的距离公式： 222 12121212 ||()()() PP x x y y z z =-+-+- .
2. 坐标法求解立体几何问题时的三个步骤：①在立体几何图形中建立空间直角坐标系；②依题意确定各 相应点的坐标 ；③通过坐标运算得到答案. 3. 对称问题，常用对称的定义求解. 一般地，点P (x , y , z ) 关于坐标平面xOy 、yOz 、zOx 的对称点的坐标 分别为(x ,y,z )、(x ,y , z )、(x , y ,z )；关于x 轴、y 轴、z 轴的对称点的坐标分别为(x , y , z )、(x ,y ,z )、(x ,y ,z )； 关于原点的对称点的坐标为(x ,y,z ).
¤例题精讲：
【例1】已知A (x ,2,3)、B (5,4,7)，且|AB |=6，求x 的值.
解：Q |AB |=6，∴ 222 (5)(24)(37)6 x -+-+-= ，
即 2 (5)16 x -= ，解得x =1或x =9.
【例2】求点P (1,2,3)关于坐标平面xOy 的对称点的坐标.
解：设点P 关于坐标平面xOy 的对称点为P ¢，连PP ¢交坐标平面xOy 于Q ，
则PP ¢ ^坐标平面xOy ，且|PQ |=|P ¢Q|，
∴P ¢在 x 轴、y 轴上的射影分别与 P 在 x 轴、y 轴上的射影重合， P ¢在 z 轴上的射影与 P 在 z 轴上的射 影关于原点对称，
∴P ¢与P 的横坐标、纵坐标分别相同，竖坐标互为相反数，
∴ 点P (1,2,3)关于坐标平面xOy 的对称点的坐标为(1,2,3).
【例3】在棱长为a 的正方体ABCD 1111 A B C D 中，求异面直线 11 BD CC 与 间的距离.
解：以D 为坐标原点，从D 点出发的三条棱所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设P 、Q 分别是直线 1 BD 和 1 CC 上的动点，其坐标分别为(x ,y , z )、(0，
1 , a z )，则由正方体的对称性，显然 有x =y . 要求异面直线 11 BD CC 与 间的距离，即求P 、Q 两点间的最短距离.
设P 在平面AC 上的射影是H ，由在D 1 BDD 中，
1 PH BH D D BD = ，所以 2
2 2 z a x a x a a
a -- == ，∴x =a z ， ∴ P 的坐标为(a z ,a z ,z )
∴ |PQ |= 222 1 ()() a z z z z -++- = 2 22 1 ()2()22 a a z z z -+-+ ∴ 当 1 2 a z z == 时，|PQ |取得最小值，最小值为 2 2
a . ∴ 异面直线 11 BD CC 与 间的距离为 2 2
a . 点评：通过巧设动点坐标，得到关于两点间距离的目标函数，由函数思想得到几何最值. 注意这里对目标 函数最值的研究，实质就是非负数最小为0. 【例4】在四面体P ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，设PA =P B =PC =a ，求点P 到平面ABC 的距离. 解：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P xyz ，
则P (0,0，0)，A （a ,0,0），B （0,a ,0），C （0,0,a ）.
过P 作PH ^平面ABC ，交平面ABC 于H ，则PH 的长即为点P 到平面ABC 的距离.
Q PA =PB =PC ,∴H 为D ABC 的外心，
又Q D ABC 为正三角形，
∴H 为D ABC 的重心，可得H 点的坐标为(,,) 333
a a a . ∴|PH |= 222 3 (0)(0)(0) 3333
a a a a -+-+-= ,
∴点P
到平面ABC 的距离为
3 3
a 点评：重心H 的坐标，可以由比例线段得到. 通过建立空间直角坐标系，用代数方法来计算点面距离. 本 题也可以用几何中的等体积法来求解.
