引言： 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考中占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 接下去的几节课我们一起来研究数列求和的基本方法和技巧. 方法一、公式法：
1、等差数列求和公式： d n n na a a n S n n 2
)
1(2)(11-+=+=
2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)
1(11)1()1(111
q q q
a a q
q a q na S n n
n 3、
1
(1)1232n
n k n n
S k k n =+==+++++=∑ 方法二、错位相减法：
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列
或的前n 项和，其中分别是等差数列和等比数列.如：
{}n n a b A {}n n
a
b {},{}n n a b 若数列是首项为公差为d 的等差数列，数列是首先为，公比为q 的等比数
{}n a 1,a {}n b 1b 列.
（1）
11223311n n n n n S a b a b a b a b a b --=+++++
（2）
122311n n n n n qS a b a b a b a b -+=
++
+
+ 由（1）—（2）得
11231机房环控
(1)()n n n n q S a b d b b b a b +-=++++- 12111(1)
,(1)
1n n n b q a b d a b q q
-+-=+-≠-典例：
例、（1）求数列
前n 项的和.⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2
2,,26,24,2232n n
（2）求数列的前n 项和.
{(1)(2)}n
n +-A n S （3）求和12
1
111135(21)333n n S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1
（4）求和： 2
3
六氟化硫开关1
1234n n S x x x nx
-=++++⋅⋅⋅+()
x R ∈实战演练：
网眼袋1、（07福建文科17）数列的前项和为，，．
{}n a n n S 11a =*
12()n n a S n +=∈N （1）求数列的通项；
{}n a n a （2）求数列的前项和．
{}n na n n T 2、 (2008年全国卷）在数列中，，.
}{
n a 11a =122n
n n a a +=+(Ⅰ)设.证明：数列是等差数列；1
2
n
n n a b -=
}{n b (Ⅱ)求数列的前项和}{
n a n n
S 3、（08陕西文）已知数列的首项，，…．
{}n a 12
3
a =
121n n n a a a +=+1,2,3,n =（Ⅰ）证明：数列是等比数列；1
{
1}n
a -（Ⅱ）数列的前项和．{
茶子粉}n
n
a n n S 数列求和的基本方法与技巧（2） 姓名
方法三：裂项相消法
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.
裂项相消法的实质是将数列中的每项
（通项）分解，使之能前后能消去一些项，最终达到求和的目的.
)()1(n f n f a n -+=如：可裂项的代数式结构有
（1）设数列是首项为公差为d 的等差数列 （）
{}n a 1a 0,0n a d ≠≠则 111111(n n n n n b a a d a a ++==-1111
()()n m n m n
c n m a a n m
d a a ==->-（2）11
1)1(1+-=+=
n n n n a n （3）1111
()(2)22
n a n n n n =
=-++ 123n S a a a =+++ 11111111111
(1)((
(2322421122
n n n n =-+-++-+--++ 1111111111(1)232435122n n n n =-+-+-++-+--++ 1111(1)2212
n n =+--++（4）1111
[(1)(2)2(1)(1)(2)
n a n n n n n n n =
=-+++++（5
）n a =
=
(6)
2222
1111
()(2)4(2)
n n n n n +=-++（6）数列为等比数列，公比为q ，前n 项和为，则 {}n b n S 11111,n n n n n b S S S S +++=-11
111
铜包铝漆包线
(n n n n n b S S q S S ++=-
例、求下列数列的前n 项和
（1）1
1
(42)()
2n a n n =
-+（2）1
3693n a n
=
++++ （3）首项1公比3，前n 项和是，求{}n a n S 1212231
n n n n a a a
T S S S S S S +=
+++ 实战演练：
有 党的建立业要论，认头牢立和主施）位开照党誓和入党誓想体组织次确集季度召”、““四师格党学习学系员合我础
1、(10山东)已知等差数列满足：，，的前n 项和为．
{}n a 37a =5726a a +={}n a n S （Ⅰ）求及；
n a n S （Ⅱ）令b n =
(n N *)，求数列的前n 项和．2
1
1
n a -∈{}n b n T 2、(08江西)数列为等差数列，为正整数，其前项和为，数列为等比数列，
{}n a n a n n S {}n b 且，数列是公比为64的等比数列，.
113,1a b =={}n a b 2264b S =（1）求；
,n n a b （2）求证
.1211134
n S S S +++< 3、（06湖北卷）设数列的前n 项和为，点均在函数y ＝3x －2的图{}n a n S (,)()n n S n N *∈像上.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
{}n a （Ⅱ）设，是数列的前n 项和，求使得对所有都成立
1
3
+=
n n n a a b n T {}n b 20n m T <n N *∈的最小正整数m.
4、设数列满足且
热解焚烧炉
{}n a 10a =111
1.
11n n
a a +-=--（Ⅰ）求的通项公式；
{}n
a （Ⅱ）设1
, 1.
n
n n k n k b b S ==
=<∑记S 证明：1
数列求和的基本方法与技巧（3） 姓名
方法三：分组求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，但是将这类数列通项公式适当拆开，
可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.如：
23[1(3)][3(3)][5(3)][21(3)]
n n S n =+-++-++-++-+- =(13521)n ++++-+ 等差数列
23(3)(3)(3)(3)n -+-+-++-
等比数列
例1、求下列数列的前n 项和
（1）999999999n ++++
个
（2）1(2
n
n a n
=-（3）1
21(3)
n n a n -=-+-（4）21(2)2n
n n
a =+
（5）21
13n n
n a +=-+
实战演练：
1、设数列满足{}n a 112,32
n
n n a a a +=-=A （1）求数列的通项公式；
{}n a （2）令，求数列的前n 项和1n n b na =-n
S
