谭志中;方靖淮
【摘 要】Based on some results of the equivalent resistance between any node in rule connected infinite square resistance network, this paper used a method of two-dimensional Fourier series expansion, that successfully exported the analytical solution of infinite plane rectangular resistance network equivalent resistance between any two nodes. The analytical solution has the general applicability, which derived a series of special conclusion, As some application of the formula, we can get some new mathematical inequalities, and can solve math problems on some of the double integral.%基于规则联接的无穷正方形电阻网络任意节点间等效电阻的一些结果，采用二维平面傅里叶级数展开方法,导出了平面无穷矩形电阻网络中任意两节点间等效电阻的普适解，得到了一系列特殊的结论,应用所得公式,导出了数学上的一些新的不等式,并求解了一些二重积分难题．
【期刊名称】《南通大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2012(011)003
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【总页数】9页(P86-94)
【关键词】平面无穷矩形网络;等效电阻;二维傅里叶级数;二重积分;不等式
【作 者】谭志中;方靖淮
【作者单位】南通大学理学院,江苏南通226007;南通大学理学院,江苏南通226007
【正文语种】中 文
【中图分类】O441
电阻网络等效电阻的研究有着百年的研究历史，等效电阻普适规律的研究堪称百年科学难题[1-4].由于电阻网络模型具有具体直观以及便于分析研究等特征，电阻网络模型的构建与研究已成为解决一系列科学问题研究的基本方法，许多实际问题可以通过构建电阻网络模型进行模拟[1-18]．研究电阻网络模型等效电阻的普适规律是研究许多实际问题的理论基础．研究纯电阻网络等效电阻的普适规律有利于复阻抗网络等效复阻抗研究[18]．文献[5-15]分别研究了 m×n 阶（m=1，2，3，4，5）电阻网络的等效电阻，文献[16-17]研究了多
边形电阻网络的等效电阻，电阻网络等效电阻的研究已经取得很大进展.文献[19-21]研究了平面无穷正方形电阻网络任意节点间的等效电阻，无穷电阻网络不同于有限的m×n 阶电阻网络，两种不同类型网络等效电阻的研究方法通常也不相同.本文拟推广文献[19-21]的研究，将无穷正方形电阻网络推广至无穷矩形电阻网络，采用二维平面的傅里叶级数展开方法，成功地导出了平面无穷矩形电阻网络中任意两节点间等效电阻的解析解，并且给出了一些有趣的特殊结果，作为所得公式的应用，能够解决与之相关的数学上的一些二重积分难题，并且得到了数学上的一些新的不等式.
1 无穷矩形网络任意节点间的等效电阻虹膜定位
1.1 相邻节点间的等效电阻思考
一般可以称图1为无穷矩形电阻网络模型，其网络间的电阻大小由图2 给出，其中单位长度的电阻为r.
首先探讨一个特殊而简单的问题：在如图1所示的无穷电阻网络模型中，如何计算相邻两节点间的等效电阻？众所周知，当矩形电阻网络为特殊的单位正方形（a=b=1）电阻网络时，磁卡读卡器
其相邻两节点间的等效电阻R 等效=r/2，该结论可以由巧妙的等效方法解决[1].然而当a≠b时，研究发现求相邻两节点间的等效电阻却不是容易的事情，根本无法用简单巧妙的等效方法解决此问题.因为当a≠b时，水平轴上的相邻两节点间的等效电阻为这一结论是根据下文得到的普适公式而导出的一个特殊结果，这一用反三角函数表达的特殊结果很难用其它简单的等效方法获得.特别当a=b=1时，由（1）得到R1，0=r/2.平面无穷矩形网络中任意节点间等效电阻的普适公式是什么，本文将在下面给出这一问题的回答.
1.2 二维傅里叶级数展开研究等效电阻
20世纪90年代，波兰学者KrzySZtof Giaro 采用二维平面的傅里叶级数（Fourier）展开方法[19-21]，成功导出了平面正方形无穷电阻网络中任意两节点间等效电阻的解析解.这里拟基于文献[19-21]的思想与方法，对正方形无穷电阻网络问题进行加权推广，将正方形网络推广至矩形网络，研究平面无穷矩形电阻网络中任意两节点间等效电阻的解析解.
如图1所示的平面无穷矩形电阻网络，设每个矩形的长（水平边）为a，宽（竖直边）为b，单位长度的电阻为r，如图2所示.研究平面无穷矩形电阻网络任意两节点间的等效电阻Rm，n.
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图1 平面无穷矩形网络模型示意图
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图2 矩形边长与节点坐标
在网络平面上建立如图1所示的ξ-η坐标系，且令所讨论的节点A 位于坐标原点，节点以行、列编号，所有其他节点的坐标可一般地记为（k，l），而待取的另一节点B 的坐标记为（m，n），其中k， l， m， n， 均为整数.设 I（k， l）为节点（k， l）处由外界流入的电流.考虑到电流I 由A 点流入，稳定后的电流I 从B 点流出，有将稳定时节点（k， l）的电势记为 V（k， l）， 则关于节点（k， l）的电流方程为
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或简记为
式中算符L 定义为
LV（k， l）即为节点（k， l）的 4个相邻点电势的加权平均量.式（3）实为关于 V（k， l）的线性非齐次无限方程组， 若由此解出 V（0，0）与 V（m，n），则根据欧姆定律可以得到A，B 两节点间的等效电阻为
非齐次方程（3）的通解是其相应的齐次方程的通解与非齐次方程（3）的一个特解之和.
先求齐次方程（6）的一个通解.
从数学上考虑， 齐次方程（6）实际是 V（k，l）的递推关系，故其解应具有不定性，但从物理上考虑可将齐次方程（6）解释为 I（k，l）一概为零的情形，即它的表述是没有外电流流入和流出时网络节点的电势分布.既然无穷电阻网络上均无外电流流入和流出，则电阻网络中必然没有内电流，各节点之间必然没有电势差，因此基于实际物理上的电阻网络，只能选取所有节点等电势的解，即
